Başlangıç Değer Teoremi, Laplace dönüşümünün temel özelliklerinden biridir . Önde gelen Fransız Matematiksel Fizikçi Pierre Simon Marquis De Laplace tarafından verildi. Newton’un Yerçekimi teorisini uygulayarak gezegen hareketi alanında önemli katkılarda bulundu. Olasılık ve istatistik teorisi ile ilgili çalışmaları öncü olarak kabul edilir ve bu, yepyeni bir matematikçi neslini etkiledi. Laplace, adını Eyfel Kulesi’ne yazdıran 72 kişiden biri.
Başlangıç değer teoremi ve Son değer teoremi birlikte Sınırlama Teoremleri olarak adlandırılır. Başlangıç değer teoremi genellikle IVT olarak adlandırılır. t = (0 + ) anında başlangıç değerini bulmamızı sağlayacaktır.) belirli bir dönüştürülmüş fonksiyon (laplace) için, bu durumda sıkıcı bir süreç olan f(t)’yi bulmak için daha fazla çalışmamıza izin vermeden.
İlk değer teoreminin varlığı için koşullar
- f(t) işlevi ve türevi f(t) Laplace dönüştürülebilir olmalıdır.
- Eğer t zamanı (0 + )’a yaklaşıyorsa, f(t) fonksiyonu mevcut olmalıdır.
t > 0 için f(t) = 0 işlevi ve orijinde darbe veya daha yüksek dereceli tekillikler içermez.
Laplace Başlangıç Değer Teoreminin İfadesi
f(t) ve F(s) Laplace dönüşüm çiftleri ise.
o zaman İlk değer teoremi ile verilir
Laplace Başlangıç Değer Teoreminin Kanıtı
f(t) fonksiyonunun
Laplace dönüşümü daha sonra türevi f ‘ (t)’nin Laplace dönüşümü olur
Önce integral kısmını düşünün
(1)’de (2)’yi değiştirirsek , her iki tarafta
f (0 – )
sıfırlandığında elde ederiz. limitlerin negatif değerleri pozitif değerlere sahip sonuçlara aittir.
Not:
Laplace dönüşümünün yalnızca nedensel işlevler için geçerli olduğunu da biliyorduk.
(s)’nin (3)’te her iki tarafta da sonsuz olma eğiliminde olduğu göz önüne alındığında
, Başlangıç değer teoremi kanıtlanmıştır.
Başlangıç Değer Teoreminin Uygulamaları
Daha önce söylediğim gibi, başlangıç değer teoreminin amacı, Laplace dönüşümü verildiği takdirde f(t) fonksiyonunun başlangıç değerini belirlemektir.
Örnek 1:
f(t) = 2 u(t) + fonksiyonunun başlangıç değerini bulunuz. 3 maliyet u (t)
Sol:
Başlangıç değer teoremi
ile Başlangıç değeri 5 ile verilir.
Örnek 2:
Dönüştürülen fonksiyonun başlangıç değerini bulalım.
Sol:
Başlangıç değer teoremi
ile [s → ∞ olarak s’nin değerleri gitgide önemsiz hale gelir. dolayısıyla sonuç, sadece öncü katsayının oranı alınarak elde edilir]
Örnek 3: Çözümün
başlangıç değerini bulun : Bu durumda başlangıç değer teoremi uygulanamaz. Bunu iki şekilde ispatlayabiliriz.
Bakalım nasıl gidiyor
Yöntem 1:
Not:
Bu teorem, F(s) uygun kesir ise, yani pay polinomu payda polinomundan daha düşük sıradaysa kesinlikle geçerlidir.
IVT uygulanması durumunda, başlangıç değeri olarak ∞ alırız.
[pratik devrelerde bu mümkün değildir]
Aliter:
Ters Laplace dönüşümünün uygulanması
t zamanına göre sabit olan itme fonksiyonu olduğu için Başlangıç değer teoreminin uygulanamayacağı açıktır.
Bu tartışma ile, Laplace dönüştürülmüş fonksiyonu ile devrenin başlangıç koşullarını değiştirmek kolaydır.
