Ağlar, Geçici Durum ve Sistemlerin çözümünde bazen f(t) zamanının tüm fonksiyonunu , çözüm için mevcut olan Laplace Dönüşümü F(ler)inden bulmakla ilgilenmeyebiliriz . f(t) fonksiyonunun tamamını bulmak zorunda kalmadan f(t)’nin ilk değerini veya son değerini veya türevlerini bulabileceğimizi bulmak çok ilginç. Bu makalede nihai değerleri ve türevlerini bulmakla ilgileneceğiz.
Örnek olması açısından:
F(s) verilmişse, t→ ∞ anında Ters Laplace Dönüşümü olan f(t) fonksiyonunu bilmeden F(∞)’nin ne olduğunu bilmek isteriz. Bu, Son Değer Teoremi olarak bilinen Laplace Dönüşümünün özelliği kullanılarak yapılabilir . Son değer teoremi ve ilk değer teoremi birlikte Sınırlama Teoremleri olarak adlandırılır.
Laplace Dönüşümünün Son Değer Teoreminin Tanımı
Eğer f(t) ve f'(t) her ikisi de Laplace Dönüştürülebilir ise ve sF(s)’nin jw ekseninde ve RHP’de (Sağ Yarı Düzlem) bir kutbu yoksa, o zaman, Laplace
Dönüşümünün Kanıtı Son Değer Teoremi
Laplace Dönüşümü:
Not
Burada 0 – limiti , t = 0’da mevcut olan darbelere dikkat etmek için alınır.
Şimdi limiti s → 0 olarak alıyoruz. O zaman e -st → 1 ve tüm denklem şuna benziyor.
Hatırlanacak noktalar:
- FVT’yi uygulamak için f(t) ve f'(t)’nin dönüştürülebilir olduğundan emin olmamız gerekir.
- Nihai Değerin var olduğundan emin olmamız gerekir. Aşağıdaki durumlarda nihai değer mevcut değildir
Eğer sF(ler)in s düzleminin sağ tarafında kutupları varsa. [Örnek 3]
sF(s)’nin jw ekseninde eşlenik kutupları varsa. [Örnek 4]
Eğer sF(ler) orijinde kutupluysa. [Örnek 5]
- uygulayalım.
Laplace Dönüşümünün Son Değer Teoremi Örnekleri
Verilen F(s)’lerin son değerlerini f(t)’yi açıkça hesaplamadan bulun
Cevap
Cevap
Not
Buraya bakın Ters Laplace Dönüşümü bu durumda zordur. Yine de Son Değeri Teorem aracılığıyla bulabiliriz.
Cevap
Notu
Örnek 1 ve 2’de koşulları da kontrol ettik ama hepsini karşılıyor. Bu yüzden kendimizi açıkça göstermekten kaçınıyoruz. Ancak burada payda pozitif bir köke sahip olduğundan sF(ler)in RHP üzerinde bir kutbu vardır. Yani burada Son Değer Teoremini
uygulayamayız . Cevap Not Bu örnekte sF(ler) jw ekseninde kutuplara sahiptir. +2i ve -2i özellikle. Dolayısıyla burada Son Değer Teoremini de uygulayamayız . Cevap Notu
Bu örnekte sF(s)’nin orijinde bir kutbu vardır.
Yani burada Son Değer Teoremini de uygulayamayız.
Son Hile
Sadece sF(ler)in sınırsız olup olmadığını kontrol edin. Sınırsızsa, Son Değer Teoremi için uygun değildir ve son değer basitçe sonsuzdur.
