Laplace dönüşümü , diferansiyel denklemleri çözmek için bir tekniktir. Burada zaman alanı formunun diferansiyel denklemi önce frekans alanı formunun cebirsel denklemine dönüştürülür. Cebirsel denklemi frekans alanında çözdükten sonra, sonuç sonunda diferansiyel denklemin nihai çözümünü elde etmek için zaman alanı formuna dönüştürülür. Başka bir deyişle, Laplace dönüşümünün diferansiyel denklemi çözmenin kısayol yönteminden başka bir şey olmadığı söylenebilir.
Bu yazıda, Laplace dönüşümlerini ve bunların diferansiyel denklemleri çözmek için nasıl kullanıldığını tartışacağız. Ayrıca bir girdi-çıktı sistemi için bir transfer fonksiyonu oluşturmak için bir yöntem sağlarlar, ancak bu burada tartışılmayacaktır. Blok diyagramları vb. kullanarak kontrol mühendisliği için temel yapı taşlarını sağlarlar.
Halihazırda birçok dönüşüm türü mevcuttur, ancak Laplace dönüşümleri ve Fourier dönüşümleri en iyi bilinenleridir. Laplace dönüşümleri genellikle bir diferansiyel denklemi basit ve çözülebilir bir cebir problemine basitleştirmek için kullanılır. Cebir biraz karmaşık hale gelse bile, çözmek diferansiyel denklemi çözmekten daha kolaydır.
Laplace Dönüşüm Tablosu
Laplace dönüşümleri hakkında bilgi içeren mühendisin kullanabileceği bir tablo her zaman vardır. Aşağıda bir Laplace dönüşüm tablosu örneği yapılmıştır. Aşağıdaki tablodan çeşitli ortak fonksiyonların Laplace dönüşümünü öğreneceğiz.
Laplace Dönüşümü Tanımı
Laplace dönüşümünü öğrenirken, sadece tabloları değil, formülü de anlamak önemlidir.
Laplace dönüşüm formülünü anlamak için: İlk önce f(t) t’nin fonksiyonu olsun, tüm t ≥ 0 için zaman
Daha sonra f(t), F(s)’nin Laplace dönüşümü , integralin var olması şartıyla tanımlanabilir . Burada Laplace Operatörü, s = σ + jω; gerçek veya karmaşık olacak j = √(-1)
Laplace Dönüşüm Yönteminin Dezavantajları
Laplace dönüşümleri yalnızca karmaşık diferansiyel denklemleri çözmek için kullanılabilir ve tüm harika yöntemler gibi, çok büyük görünmeyen bir dezavantajı vardır. Yani, bu yöntemi yalnızca bilinen sabitlerle diferansiyel denklemleri çözmek için kullanabilirsiniz. Bilinen sabitleri olmayan bir denkleminiz varsa, bu yöntem işe yaramaz ve başka bir yöntem bulmanız gerekecektir.
Laplace Dönüşümlerinin Tarihi
Matematikte dönüşüm, bir işlevin aynı etki alanında olmayabilecek başka bir işleve dönüştürülmesiyle ilgilenir. Dönüştürme yöntemi, uygulamasını doğrudan çözülemeyen problemlerde bulur. Bu dönüşüm, adını Fransa’da yaşayan matematikçi ve ünlü astronom Pierre Simon Laplace’dan almıştır.
Olasılık teorisine yaptığı eklemelerde benzer bir dönüşüm kullandı. İkinci Dünya Savaşı’ndan sonra popüler oldu. Bu dönüşüm İngiliz Elektrik Mühendisi Oliver Heaviside tarafından popüler hale getirildi. Niels Abel, Mathias Lerch ve Thomas Bromwich gibi diğer ünlü bilim adamları bunu 19. yüzyılda kullandılar.
Laplace Dönüşümlerinin tam tarihi biraz daha geçmişe, daha spesifik olarak 1744’e kadar izlenebilir. Bu, Leonhard Euler adlı bir başka büyük matematikçinin diğer integral türleri üzerinde araştırma yaptığı zamandır. Ancak Euler bunu çok fazla takip etmedi ve bıraktı. Joseph Lagrange adında bir Euler hayranı; Euler’in çalışmasında bazı değişiklikler yaptı ve daha fazla çalışma yaptı. LaGrange’ın çalışması 38 yıl sonra Laplace’ın dikkatini çekti, 1782’de Euler’in bıraktığı yerden devam etti. Ama aradan 3 yıl geçmedi; 1785’te Laplace bir dahiyane sahipti ve diferansiyel denklemleri çözme şeklimizi sonsuza dek değiştirdi. Üzerinde çalışmaya devam etti ve 1809’a kadar Laplace dönüşümünün gerçek gücünü ortaya çıkarmaya devam etti ve burada sonsuzluğu ayrılmaz bir koşul olarak kullanmaya başladı.
Laplace Dönüşümü Yöntemi
Laplace dönüşümü, kontrol sistemi mühendisliğinin önemli bir parçasıdır. Bir kontrol sistemini incelemek veya analiz etmek için farklı fonksiyonların (zamanın fonksiyonu) Laplace dönüşümünü gerçekleştirmemiz gerekir. Ters Laplace, f(t) fonksiyonunu Laplace formundan bulmak için de önemli bir araçtır. Hem ters Laplace hem de Laplace dönüşümleri, dinamik kontrol sistemlerinin analizinde belirli özelliklere sahiptir. Laplace dönüşümleri, doğrusal sistemler için çeşitli özelliklere sahiptir. Farklı özellikler şunlardır:
Doğrusallık, Türev alma, integrasyon, çarpma, frekans kaydırma, zaman ölçekleme, zaman kaydırma, evrişim, konjugasyon, periyodik fonksiyon. Kontrol sistemleriyle ilgili çok önemli iki teorem vardır. Bunlar :
- İlk değer teoremi (IVT)
- Nihai değer teoremi (FVT)
Laplace dönüşümü, darbe, birim darbe, adım, birim adım, kaydırılmış birim adım, rampa, üstel azalma, sinüs, kosinüs, hiperbolik sinüs, hiperbolik kosinüs, doğal logaritma, Bessel işlevi gibi bir dizi fonksiyon üzerinde gerçekleştirilir. Ancak Laplace dönüşümünü uygulamanın en büyük avantajı, yüksek mertebeden diferansiyel denklemleri cebirsel denklemlere dönüştürerek kolayca çözmektir.
Bir zaman fonksiyonunun Laplace dönüşümünü yapmak için izlenmesi gereken bazı adımlar vardır. f(t)’nin belirli bir fonksiyonunu karşılık gelen Laplace dönüşümüne dönüştürmek için aşağıdaki adımları izlemeliyiz:
- Önce f(t)’yi e -st ile çarpın , s bir karmaşık sayıdır (s = σ + j ω).
- Bu ürünü zamana göre sıfır ve sonsuz gibi limitlerle entegre edin. Bu entegrasyon, f(t)’nin F(s) ile gösterilen Laplace dönüşümü ile sonuçlanır.
Zaman fonksiyonu f(t), Laplace dönüşümünden ters Laplace dönüşümü adı verilen ve £ -1 ile gösterilen bir işlemle elde edilir.
Laplace Dönüşümü Özellikleri
Laplace Dönüşümünün temel özellikleri şu şekilde özetlenebilir:
Doğrusallık: C 1 , C 2 sabit olsun. f(t), g(t) zamanın fonksiyonları, t, sonra
Birinci kaydırma Teoremi:
Ölçek özelliğinin değişmesi:
Türev alma:
İntegral:
Zaman Kayması:
L{f(t) } = F(s ise), o zaman f(t)’nin Laplace Dönüşümü, zaman gecikmesinden sonra, T, f(t)’nin Laplace Dönüşümünün çarpımına eşittir ve e -st burada
, u(tT) birim adım fonksiyonunu ifade eder.
Çarpım:
L{f(t) }=F(s) ise, o zaman iki fonksiyonun, f 1 (t) ve f 2 (t) çarpımı
Son Değer Teoremidir:
Laplace Dönüşümü başlangıç koşullarında çözüm verdiğinden, bu teorem geri beslemeli kontrol sisteminin analizinde ve tasarımında uygulanabilir.
Başlangıç Değer Teoremi: Konuyu daha iyi anlamak için
basit bir f(t) = e αt fonksiyonunun Laplace dönüşüm yöntemlerini inceleyelim.
Yukarıdaki çözümü karşılaştırarak yazabiliriz,
Benzer şekilde, α = 0 koyarak şunu elde ederiz,
Benzer şekilde, α = jω koyarak şunu elde ederiz,
Ve böylece, fonksiyon için
başka bir Laplace dönüşüm yöntemi örneğini inceleyelim.
Yine Laplace dönüşümü e t‘nin formu , Bu Laplace formu, elde ettiğimiz kuvvet serilerinin tanımından Şimdi
olarak yeniden yazılabilir.
Laplace Dönüşümü Örnekleri
Denklemi Laplace Dönüşümlerini kullanarak çözün, Yukarıdaki
tablo kullanılarak denklem Laplace formuna dönüştürülebilir:
Soruda verilen veriler kullanılarak Laplace formu basitleştirilebilir.
(s 2 + 3s + 2) ile bölmek verir
Bu, önceki biçiminde çözmekten daha kolay olan kısmi kesirler kullanılarak çözülebilir. İlk olarak, paydanın çarpanlara ayrılması gerekir.
Çapraz çarpma şunları verir:
Daha sonra A ve B katsayılarının bulunması gerekir.
Denklemde yer değiştirme:
Daha sonra yukarıda verilen tablo kullanılarak bu denklem normal forma dönüştürülebilir.
Kendinizi denemek için örnekler
Aşağıdakilerin ters Laplace dönüşümünü hesaplayın ve yazın, çevrimiçi olarak Laplace dönüşümleriyle bir tablo bulmanız önerilir:
Çözümler:
Çalışılmış bazı laplace dönüşüm örneklerine biraz daha girelim:
1) Burada, F(s), bir zaman alanı fonksiyonu f(t)’nin Laplace formudur. f(t)’nin son kullanma tarihini bulun.
Çözüm
Şimdi, F(ler)in Ters Laplace Dönüşümü
2) Çözümün Ters Laplace Dönüşüm fonksiyonunu bulalım.
Şimdi,
Dolayısıyla,
3) Diferansiyel denklemi çözelim.
Çözüm
Bildiğimiz gibi, Laplace dönüşümü
4) Diferansiyel denklemi çözelim.
Çözüm
Bildiğimiz gibi,
5) Aşağıdaki devre için, Laplace Dönüşümü tekniğini kullanarak kapasitörün ilk şarj akımını hesaplayın.
Çözüm
Yukarıdaki şekil Laplace formunda yeniden çizilebilir,
Şimdi, ilk şarj akımı,
6) Son kararlı durum akımı için Laplace dönüşümünü kullanarak elektrik devresini çözelim.
Çözüm Yukarıdaki devre Kirchhoff Gerilim Yasası
kullanılarak analiz edilebilir ve ardından kararlı durum akımının nihai değerini elde ederiz.
8) Bir zaman tanım alanı fonksiyonu f(t) için f(t), f ‘ (t) ve f “ (t)’yi bulun. Fonksiyonun Laplace Dönüşüm formu şu şekilde verilir.
Başlangıç değer teoremini uygulayarak elde ederiz.
9) f(t)’nin Laplace Dönüşümü;
Denklemin son değerini, son değer teoremini ve son değeri bulmanın geleneksel yöntemini kullanarak bulun.
Çözüm;
Böylece her iki yöntemde de fonksiyonun son değerinin aynı olduğu kanıtlanmıştır.
10) Fonksiyonun Ters Laplace Dönüşümünü bulalım.
Çözüm
F(ler) şu şekilde yeniden yazılabilir:
11) Çözüm F(ler)in Ters Laplace dönüşümünü bulun,
şu şekilde yeniden yazılabilir:
12) Çözüm F(ler)in Ters Laplace dönüşümünü bulun,
şu şekilde yeniden yazılabilir:
13) Diferansiyel denklemi Laplace dönüşüm formunda ifade edilir.
Çözüm
14) Diferansiyel denklemi Laplace dönüşüm formunda ifade edin
Çözüm
Laplace Dönüşümleri Gerçek Hayatta Nerelerde Kullanılır?
Laplace Dönüşümü , Lerch’in İptal Yasasından türetilmiştir. Laplace Dönüşümü yönteminde zaman alanındaki fonksiyon, frekans alanındaki bir Laplace fonksiyonuna dönüştürülür. Bu Laplace fonksiyonu cebirsel bir denklem şeklinde olacaktır ve kolaylıkla çözülebilir. Çözüm, bir Ters Laplace Dönüşümü kullanılarak tekrar zaman alanına dönüştürülebilir.
Bu dönüşüm, yukarıda kısaca bahsedildiği gibi, en yaygın olarak kontrol sistemleri için kullanılır. Dönüşümler, havalandırma, ısıtma ve hava koşulları vb. gibi sistemleri incelemek ve analiz etmek için kullanılır. Bu sistemler her modern inşaat ve binada kullanılmaktadır.
Laplace dönüşümleri de süreç kontrolleri için önemlidir. Değiştirildiğinde gerekli sonuçları veren değişken analizine yardımcı olur. Bunun bir örneği ısıyla ilgili deneylerde bulunabilir.
Bu iki örnek dışında birçok mühendislik uygulamasında kullanılan Laplace dönüşümleri oldukça kullanışlı bir yöntemdir. Hem elektronik hem de makine mühendisliğinde kullanışlıdır.
Elektriksel, mekanik, termal, hidrolik vb. dinamik bir kontrol sistemi için kontrol eylemi, bir diferansiyel denklem ile temsil edilebilir. Sistem diferansiyel denklemini yöneten fizik kanunlarına göre türetilmiş bir sistemdir. Bir kontrol sistemini tanımlayan diferansiyel denklemin çözümünü kolaylaştırmak için denklem cebirsel bir forma dönüştürülür. Bu dönüşüm, Laplace dönüşüm tekniği yardımıyla yapılır , yani zaman tanımlı diferansiyel denklem, frekans tanımlı cebirsel denkleme dönüştürülür.
Bu makale buradan çevrilmiştir.
