AC Devreler

Fazör Diyagramları ve Fazör Cebiri

Fazör Diyagramları, iki veya daha fazla alternatif nicelik arasındaki büyüklük ve yön ilişkisini temsil etmenin grafiksel bir yoludur.

Fazör Diyagramları ve Fazör Cebiri

Aynı frekanstaki sinüzoidal dalga biçimleri, kendi aralarında, iki sinüzoidal dalga biçiminin açısal farkını temsil eden bir Faz Farkına sahip olabilir. Ayrıca “lead” ve “gecikme” ile “faz içi” ve “faz dışı” terimleri de bir sinüzoidal dalga formunun diğerine olan ilişkisini belirtmek için yaygın olarak kullanılır. A (t)  = A m  sin(ωt ± Φ) olarak verilen genelleştirilmiş sinüzoidal ifade , sinüzoidi zaman alanı biçiminde temsil eder.

Ancak matematiksel olarak bu şekilde sunulduğunda, iki (veya daha fazla) sinüzoidal dalga formu arasındaki açısal veya fazör farkını görselleştirmek bazen zor olabilir. Bu problemin üstesinden gelmenin bir yolu, sinüzoidleri Fazör Diyagramlarını kullanarak uzaysal veya fazör-alan biçiminde grafiksel olarak göstermektir ve bu, dönen vektör yöntemi ile elde edilir.

Temel olarak, aynı zamanda ” Faz Vektörü ” olarak da kabul edilen dönen bir vektör, uzunluğu hem büyüklüğü (“tepe genliği”) hem de yönü (“faz”) olan ve bazı noktalarda “donmuş” olan bir AC miktarını temsil eden ölçekli bir çizgidir. zaman noktası.

Bir ucunda, kısmen vektör miktarının (  Vm veya Im  ) maksimum değerini ve kısmen de dönen vektörün ucunu gösteren bir ok başı olan bir vektör.

Genel olarak, vektörlerin bir uçta “menşe noktası” olarak bilinen sabit bir sıfır noktası etrafında döndüğü varsayılır. Oklu uç, açısal bir hızla ( ω  ) saat yönünün tersine serbestçe dönen miktarı temsil eder  . Vektörün bu saat yönünün tersine dönüşü, pozitif bir dönüş olarak kabul edilir. Aynı şekilde, saat yönünde bir dönüş, negatif bir dönüş olarak kabul edilir.

Hem vektör hem de fazör terimleri, kendisi hem büyüklüğü hem de yönü olan dönen bir çizgiyi tanımlamak için kullanılsa da, ikisi arasındaki temel fark, bir vektör büyüklüğünün sinüzoidin “tepe değeri” olması, fazör karmaşık büyüklüğünün ise sinüzoidin “tepe değeri” olmasıdır. Reaktansa sahip AC devreleriyle ilgilenirken sinüzoidin “rms değeri”. Her iki durumda da faz açısı, yönü ve açısal hız aynı kalır.

Zaman içinde herhangi bir anda değişen bir niceliğin fazı, bir fazör diyagramı ile temsil edilebilir, bu nedenle fazör diyagramları “zamanın fonksiyonlarını” temsil ettiği düşünülebilir. Tam bir sinüs dalgası, ƒ = 2πƒ açısal hızında saat yönünün tersine dönen tek bir vektör tarafından oluşturulabilir , burada ƒ dalga biçiminin frekansını gösterir. O zaman bir Fazör , hem “Büyüklük” hem de “Yön” olan bir niceliktir.

Ayrıca, vektörler paralelkenar toplama ve çıkarma yasasına uyarlar, bu nedenle açısal hızda saat yönünün tersine dönen bir vektör toplamı üretmek için birlikte toplanabilirler. Fazörler ise matematiksel olanı temsil eder: Dikdörtgen, Kutupsal veya Üstel form. Örneğin, (a + jb). Böylece, fazör gösterimi, gerilim ve akımların etkin (rms) büyüklüğünü tanımlar.

Genel olarak, bir fazör diyagramı oluştururken, bir sinüs dalgasının açısal hızının her zaman rad/sn cinsinden ω olduğu varsayılır.

Aşağıdaki fazör diyagramını göz önünde bulundurun.


Bir Sinüzoidal Dalga Formunun Fazör Diyagramı

Bir Sinüzoidal Dalga Formunun Fazör Diyagramı

Tek vektör saat yönünün tersine döndüğü için, A noktasındaki ucu tam bir döngüyü temsil eden 360 o veya 2π’lik bir tam tur dönecektir .

Hareketli ucunun uzunluğu, zaman içinde farklı açısal aralıklarla yukarıda gösterildiği gibi bir grafiğe aktarılırsa, sıfır zamanla soldan başlayarak sinüzoidal bir dalga şekli çizilir. Yatay eksen boyunca her konum, sıfır zamandan beri geçen süreyi gösterir, t = 0 . Vektör yatay olduğunda, vektörün ucu 0 o , 180 o ve 360 ​​o açılarını temsil eder .

Benzer şekilde, vektörün ucu dikey olduğunda,   90 o veya π/2’de pozitif tepe değerini ( +Am )  ve 270 o veya 3π/2’de negatif tepe değerini (  -Am ) temsil eder . Daha sonra dalga biçiminin zaman ekseni, fazörün hareket ettiği derece veya radyan cinsinden açıyı temsil eder. Dolayısıyla, bir fazörün, zamanın bir noktasında (  t ) “donmuş” olan dönen bir vektörün ölçeklenmiş bir voltajını veya akım değerini temsil ettiğini söyleyebiliriz ve yukarıdaki örneğimizde, bu 30 o’luk  bir açıdadır .

Bazen alternatif dalga biçimlerini analiz ederken, özellikle aynı eksende iki farklı dalga biçimini karşılaştırmak istediğimizde, belirli bir noktada değişen miktarı temsil eden fazörün konumunu bilmemiz gerekebilir. Örneğin, voltaj ve akım. Yukarıdaki dalga biçiminde, dalga biçiminin derece veya radyan cinsinden karşılık gelen bir faz açısıyla t = 0 zamanında başladığını varsaydık .

Ancak, bu sıfır noktasının solunda veya sağında ikinci bir dalga formu başlarsa veya iki dalga formu arasındaki ilişkiyi fazör notasyonda göstermek istiyorsak, o zaman dalga formunun bu faz farkını, Φ’yi hesaba katmamız gerekecek . Önceki Faz Farkı öğreticisinden aşağıdaki diyagramı inceleyin .


Bir Sinüzoidal Dalga Formunun Faz Farkı

Bir Sinüzoidal Dalga Formunun Faz Farkı

Bu iki sinüsoidal niceliği tanımlamak için genelleştirilmiş matematiksel ifade şu şekilde yazılacaktır:

Akım, i voltajın gerisindedir, v açısı Φ ve yukarıdaki örneğimizde bu 30 o . Dolayısıyla, iki sinüsoidal niceliği temsil eden iki fazör arasındaki fark Φ açısıdır ve ortaya çıkan fazör diyagramı olacaktır.


Bir Sinüzoidal Dalga Formunun Fazör Diyagramı

Bir Sinüzoidal Dalga Formunun Fazör Diyagramı

azör diyagramı yatay eksende sıfır zamanına (  t = 0 ) karşılık gelen şekilde çizilir. Fazörlerin uzunlukları, fazör diyagramının çizildiği andaki gerilim, ( V ) ve akım ( I ) değerleriyle orantılıdır.

İki fazör daha önce belirtildiği gibi saat yönünün tersine döndüğünden, akım fazörü voltaj fazörünü Φ açısı kadar geride bırakır , bu nedenle Φ açısı da aynı saat yönünün tersine ölçülür.

Bununla birlikte, dalga biçimleri t = 30 o zamanında donmuşsa, karşılık gelen fazör diyagramı sağda gösterilene benzeyecektir. İki dalga biçimi aynı frekansta olduğundan, akım fazörü bir kez daha gerilim fazörünün gerisinde kalır.

Bununla birlikte, akım dalga biçimi şimdi bu anda yatay sıfır ekseni çizgisini geçtiğinden, akım fazörünü yeni referansımız olarak kullanabilir ve voltaj fazörünün akım fazörünü açı ile “önde” ettiğini doğru bir şekilde söyleyebiliriz, Φ . Her iki durumda da, bir fazör referans fazör olarak belirlenir ve diğer tüm fazörler bu referansa göre önde veya geride olacaktır.


Fazör Ekleme

Fazörlerin iyi bir kullanımı, aynı frekanstaki sinüzoidlerin toplanması içindir. Bazen, örneğin bir AC serisi devrede, birbiriyle aynı fazda olmayan iki alternatif dalga biçimini bir araya getirmek için sinüzoidleri incelerken gereklidir.

Eğer “faz içi” iseler, yani faz kayması yok, o zaman iki vektörün cebirsel toplamını bulmak için DC değerleriyle aynı şekilde toplanabilirler. Örneğin, sırasıyla 50 volt ve 25 voltluk iki voltaj birlikte “faz içi” ise, 75 voltluk (50 + 25) bir voltaj oluşturmak için toplanırlar veya toplanırlar.

Bununla birlikte, aynı fazda değillerse, yani aynı yönlere veya başlangıç ​​noktalarına sahip değillerse, aralarındaki faz açısının dikkate alınması gerekir ; paralelkenar yasasını kullanarak.

İki AC voltajı düşünün, V1 tepe voltajı 20 volt ve V2 tepe voltajı 30 volttur , burada V1 V2’yi 60 o ile yönlendirir.

İki voltajın toplam voltajı, V T , ilk olarak iki vektörü temsil eden bir fazör diyagramı çizilerek ve daha sonra aşağıda gösterildiği gibi iki tarafı voltaj olan V1 ve V2 olan bir paralelkenar oluşturularak bulunabilir.


İki Fazörün Fazör Eklenmesi

İki Fazörün Fazör Eklenmesi

Grafik kağıdına ölçeklenecek iki fazörü çizerek, fazör toplamları V 1  + V 2 , sıfır noktasından kesişme noktasına “sonuç r-vektörü” olarak bilinen diyagonal çizginin uzunluğunu ölçerek kolayca bulunabilir. 0 -A . Bu grafik yöntemin dezavantajı, fazörleri ölçeklendirmek için zaman alıcı olmasıdır.

Ayrıca, bu grafik yöntemi çoğu amaç için yeterince doğru bir cevap verirken, doğru veya doğru bir şekilde ölçeklendirilmezse bir hata üretebilir. O halde her zaman doğru cevabın elde edilmesini sağlamanın bir yolu analitik bir yöntemdir.

Matematiksel olarak, iki voltajı önce “dikey” ve “yatay” yönlerini bularak toplayabiliriz ve bundan sonra sonuçta ortaya çıkan “r vektörü” V T için hem “dikey” hem de “yatay” bileşenleri hesaplayabiliriz . Bu sonuç değerini bulmak için kosinüs ve sinüs kuralını kullanan bu analitik yönteme genellikle Dikdörtgen Form denir .

Dikdörtgen formda, fazör gerçek bir parça x ve sanal bir parçaya bölünür , y genelleştirilmiş Z = x ± jy ifadesini oluşturur   . (Bunu bir sonraki eğitimde daha ayrıntılı olarak tartışacağız). Bu bize sinüzoidal voltajın hem büyüklüğünü hem de fazını şu şekilde temsil eden matematiksel bir ifade verir:


Kompleks Sinüzoidin Tanımı

Kompleks Sinüzoidin Tanımı

Dolayısıyla, önceki genelleştirilmiş ifadeyi kullanarak iki vektörün, A ve B’nin eklenmesi aşağıdaki gibidir:


Dikdörtgen Form Kullanarak Fazör Toplama

Voltaj, 30 volt V 2 , yatay sıfır ekseni boyunca referans yönünü gösterir, daha sonra aşağıdaki gibi yatay bir bileşene sahiptir, ancak dikey bileşen yoktur.

  • • Yatay Bileşen = 30 cos 0 o = 30 volt
  • • Dikey Bileşen = 30 sin 0 o = 0 volt
  • Bu bize V2 gerilimi için 30 + j0 dikdörtgen ifadesini verir .  

Voltaj, V 1 / 20 volt voltaj, V 2 x 60 o , daha sonra aşağıdaki gibi hem yatay hem de dikey bileşenlere sahiptir.

  • • Yatay Bileşen = 20 cos 60 o = 20 x 0,5 = 10 volt
  • • Dikey Bileşen = 20 sin 60 o = 20 x 0.866 = 17.32 volt
  • Bu bize V1 gerilimi için 10 + j17.32 dikdörtgen ifadesini verir .  

Ortaya çıkan voltaj, V T , yatay ve dikey bileşenler aşağıdaki gibi toplanarak bulunur.

  • Yatay = V 1 ve V 2’nin gerçek kısımlarının toplamı = 30 + 10 = 40 volt
  • Dikey = V 1 ve V 2’nin hayali kısımlarının toplamı = 0 + 17.32 = 17.32 volt

Artık hem gerçek hem de sanal değerler gerilimin büyüklüğü olarak bulunduğuna göre, V T , aşağıdaki gibi 90 o üçgeni için Pisagor Teoremi kullanılarak belirlenir.

Ardından ortaya çıkan fazör diyagramı şöyle olacaktır:

T’nin Sonuç Değeri
Dikdörtgen Form Kullanarak Fazör Toplama

Fazör Çıkarma

Fazör çıkarma, yukarıdaki dikdörtgen toplama yöntemine çok benzer, ancak bu sefer vektör farkı, gösterildiği gibi iki V1 ve V2 voltajı arasındaki paralelkenarın diğer köşegenidir .

İki Fazörün Vektör Çıkarması
Üç Fazlı Fazör Şeması

Bu sefer hem yatay hem de dikey bileşenleri birbirine “eklemek” yerine, onları çıkarıyoruz, çıkarma.


3 Fazlı Fazör Diyagramı

Daha önce, tek bir çok dönüşlü bobinin bir manyetik alan içinde döndüğü tek fazlı AC dalga biçimlerine baktık. Ancak, her biri aynı sayıda bobin dönüşüne sahip üç özdeş bobin, aynı rotor şaftı üzerinde birbirine 120 o’luk bir elektrik açısıyla yerleştirilirse, üç fazlı bir voltaj kaynağı üretilecektir.

Dengeli bir üç fazlı voltaj kaynağı, tümü büyüklük ve frekans bakımından eşit olan ancak birbirleriyle tam olarak 120 o elektrik derecesinde faz dışı olan üç ayrı sinüzoidal voltajdan oluşur.

Standart uygulama, her bir fazı referans faz olarak kırmızı faz ile tanımlamak için üç fazı Kırmızı , Sarı ve Mavi olarak renkle kodlamaktır . Üç fazlı bir besleme için normal dönüş sırası Kırmızı , ardından Sarı ve ardından Mavi , (  R , Y , B  ) şeklindedir.

Yukarıdaki tek fazlı fazörlerde olduğu gibi, üç fazlı bir sistemi temsil eden fazörler de rad/s cinsinden ω ile işaretlenmiş okla gösterildiği gibi bir merkezi nokta etrafında saat yönünün tersine döner . Üç fazlı dengeli yıldız veya üçgen bağlantılı sistem için fazörler aşağıda gösterilmiştir.

Üç Fazlı Fazör Şeması

Üç Fazlı Fazör Şeması

Faz gerilimlerinin tümü büyüklük olarak eşittir, ancak yalnızca faz açılarında farklılık gösterir. Bobinlerin üç sargısı, üç ayrı faz için ortak bir nötr bağlantı oluşturmak üzere a 1 , b 1 ve c 1 noktalarında birbirine bağlanır. Daha sonra, kırmızı faz referans faz olarak alınırsa, her bir ayrı faz gerilimi, ortak nötr olarak tanımlanabilir.


Üç Fazlı Gerilim Denklemleri

Üç Fazlı Gerilim Denklemleri

Eğer kırmızı faz gerilimi, V RN daha önce belirtildiği gibi referans gerilim olarak alınırsa, faz sırası R  –  Y  –  B olacaktır , bu nedenle sarı fazdaki voltaj V RN’den 120 o geri kalır ve mavi fazdaki voltaj geride kalır. V YN ayrıca 120 o . Ama mavi faz voltajı da diyebiliriz, V BN kırmızı faz voltajına öncülük ediyor, V RN 120 o .

Üç fazlı bir sistem hakkında son bir nokta. Üç ayrı sinüzoidal voltajın birbirleri arasında 120 o sabit bir ilişkisi olduğundan, bunların “dengeli” olduğu söylenir, bu nedenle bir dizi dengeli üç fazlı voltajda fazör toplamları her zaman şu şekilde sıfır olacaktır:   V a  + V b  + V c  = 0

Fazör Şeması Özeti

Ardından, Fazör Diyagramları hakkındaki bu öğreticiyi biraz özetlemek için.

En basit ifadeyle, fazör diyagramları, dönen bir vektörün anlık değeri temsil eden yatay bir eksene izdüşümüdür. Zamanın herhangi bir anını ve dolayısıyla herhangi bir açıyı temsil etmek için bir fazör diyagramı çizilebileceğinden, alternatif bir miktarın referans fazörü her zaman pozitif x ekseni yönü boyunca çizilir.

  • Vektörler, Fazörler ve Fazör Diyagramları YALNIZCA sinüzoidal AC alternatif büyüklükler için geçerlidir.
  • Bir Fazör Diyagramı, herhangi bir anda iki veya daha fazla durağan sinüzoidal miktarı temsil etmek için kullanılabilir.
  • Genellikle referans fazörü yatay eksen boyunca çizilir ve o anda diğer fazörler çizilir. Tüm fazörler yatay sıfır eksenine göre çizilir.
  • İkiden fazla sinüzoidi temsil etmek için fazör diyagramları çizilebilir. Gerilim, akım veya başka bir değişken miktar olabilirler, ancak hepsinin frekansı aynı olmalıdır .
  • Tüm fazörler saat yönünün tersine dönerek çizilir. Referans fazörünün önündeki tüm fazörlerin “öncü” olduğu söylenirken, referans fazörünün arkasındaki tüm fazörlerin “gecikmeli” olduğu söylenir.
  • Genel olarak, bir fazörün uzunluğu, maksimum değerinden ziyade sinüzoidal miktarın rms değerini temsil eder.
  • Farklı frekanslardaki sinüsoidler, vektörlerin farklı hızlarından dolayı aynı fazör diyagramında gösterilemez. Herhangi bir anda aralarındaki faz açısı farklı olacaktır.
  • İki veya daha fazla vektör birlikte toplanabilir veya çıkarılabilir ve Sonuç Vektör adı verilen tek bir vektör haline gelebilir .
  • Bir vektörün yatay tarafı, gerçek veya “x” vektörüne eşittir. Bir vektörün dikey tarafı, hayali veya “y” vektörüne eşittir. Ortaya çıkan dik açılı üçgenin hipotenüsü “r” vektörüne eşdeğerdir.
  • Üç fazlı dengeli bir sistemde her bir fazör 120 o yer değiştirir .

AC Teorisi ile ilgili bir sonraki derste , sinüzoidal dalga formlarını Karmaşık Sayılar olarak Dikdörtgen formda, Polar formda ve Üstel formda temsil etmeye bakacağız.

Related posts

Seri RLC Devre Analizi

Ömer Ersin

Reaktif güç

Ömer Ersin

AC Kapasitansı ve Kapasitif Reaktans

Ömer Ersin